4. 역행렬 구하기 (가우스-조르당)

목차

1. 기본행변환

2. 가우스 조르당 방법

3. 증명

 

 

1. 기본행변환

(1) 기본행변환

   : 기본행 연산이란, 다음 세가지를 말한다

     행 바꿈, 행의 스칼라배, 행끼리의 덧셈(뺄셈)

 

    편의를 위해 3x3의 행렬을 다음과 같이 표기한다.

    행을 뜻하는 단어 Row의 앞글자를 따서 행을 R로 표기한다.

    ●행 바꿈은 다음을 뜻한다.

    ●행의 덧셈(뺄셈)은 다음을 뜻한다.

    ●행의 스칼라배는 다음을 뜻한다.

  

 

(2) 기본행렬 (Elementary matirx)

   : 기본행연산을 행렬로 나타낼 수 있으며 이를 기본행렬이라고 한다.

   어떤 3x3 행렬에 위와 같은 기본행렬을 앞에 직접 곱해보길 바란다.

 

 

 

 

 

2. 가우스 조르당 방법

① 구하고자 하는 행렬 A와 단위행렬 I를 이용하여 첨가행렬을 만든다. [A | I ]

 

② 첨가행렬 [A | I ]를 양쪽 동시에 행변환하여 왼쪽의 행렬 A를 I로 변형한다.

 

③ 왼쪽의 행렬 A가 I로 바뀐다면 오른쪽의 I가 바뀐 행렬이 A의 역행렬이 된다.

 

ex) 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

※행렬 A가 기본행변환을 하여 단위행렬이 되지 못하면 그 행렬 A는 역행렬이 존재하지 않는다.

 

 

3. 증명

행렬 A가 역행렬이 존재하고 기본행렬 E : ( 1,2,3, ... n) 들을 곱하여 단위행렬이 되었다고 가정하면

다음 식이 성립한다.

 

가우스 조르당 방법은 위 식과 같이 행렬 A에 기본행렬들을 양변에 곱해 나가는 식을

간략하게 첨가행렬로 나타낸 방법이다.

 

역행렬이 존재한다면 모든 정사각행렬 nxn에 대해 이 방법을 사용 가능하다.