2. 행렬 대수 성질

목차

1. 덧셈과 스칼라배의 성질

2. 곱셈의 성질

3. 전치행렬의 성질

4. 증명

 

 

 

행렬 A,B,C와 스칼라 k,t에 대한 대수적 성질들이다.

 

1. 행렬의 덧셈과 스칼라배(실수배)의 성질

(1) 덧셈의 교환법칙

(2) 덧셈의 결합법칙

(3) 덧셈에 대한 항등원

(4) 덧셈에 대한 역원

(5) 분배법칙

 

2. 행렬 곱셈의 성질

(1) 결합법칙

(2) 좌분배법칙

(3) 우분배법칙

(4) 곱셈에 대한 항등원      A는 m x n 행렬이다.

 

(주의)

*곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않는다.

*곱셈에 대한 역원은 항상 존재하지 않는다. 곱셈에 대한 역원을 역행렬이라고 한다.

*영행렬이 아닌 A를 제곱하여 영행렬이 될 수 있다.

반례로 다음 행렬은 영행렬이 아니다.

하지만 이 행렬을 제곱하면 영행렬이 된다.

 

3. 전치행렬의 성질

 

 

(5) 음이 아닌 정수 m에 대해

(6) 정사각행렬 A에 대해, 다음은 대칭행렬이다.

(7) 임의의 행렬 A에 대해, 다음은 대칭행렬이다.

 

 

 

4. 증명

전치행렬의 두 가지 성질에 대해서만 증명을 해보겠다.

 

3-(3) 다음의 결과를 C라는 행렬이라 하면,  

       C의 (i, j)의 성분은 A+B의 (j, i)성분이 되고, 곧 A의 (j, i)성분과 B의 (j, i)의 성분의 합이 된다.

       성분들을 모아 행렬로 표현하게 되면

 

 

3-(6) 다음의 결과 행렬을 C라고 하고, 행렬의 성분을 확인해보자.

       따라서 A와 A의 전치행렬의 합은 대칭행렬이다.