(링크) 여러가지 수열 점화식의 일반항
특성방정식을 통한 일반항 구하기는 (링크)의 5번.
수열 중 가장 유명한 수열이 피보나치 수열일것이다.
피보나치 수열은 토끼의 번식 문제에서 등장하였지만, 이 수열은 아주 많은 자연 현상으로 부터 나타나고 있고
피보나치 수열은 황금비와도 연관이 있으며, 인쇄 용지의 크기, 신용카드의 크기, 앵무조개등 많은 곳에서 볼 수 있다.
그 피보나치 수열의 점화식을 만들고, 그 점화식으로 일반항을 구해보자.
고등학교 수열 과정만 알아도 충분히 이해할 수 있다.
다음의 피보나치 수열의 점화식을 만들어보자.
(n+2)번쨰 항은 앞의 두 항 (n+1), (n)번째 항을 더하여 생성된다.
그러면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
점화식의 특성방정식은, a대신 x를 대입하면 만들 수 있다.
(n+2)항은 X^2으로, (n+1)항은 X, (n)항은 1로 치환하자.
특성방정식에 대해서는 몰라도 상관이 없다. 특성방정식에서의 두 근을 사용하는 이유는
a(n+1)번째 항을 적당히 두개로 분리하여 새로운 등비수열을 만드는 것에 있다.
여기서 두 가지 식으로 나뉘어 진다.
좌변과 우변에 같은 수열이 생겨났다. 그 수열은 각각 공비가 베타와 알파인 수열이다.
피보나치 일반항은 구했지만 n번쨰 항을 구하기엔 계산이 간단하지가 않아 컴퓨터 계산의 힘을 빌려야한다.
손으로 직접 500번째 항을 구하기엔 좋지 않지만, 일반항을 구한것에 의미를 두자.
피보나치 수열은 황금비와 큰 연관이 있는데, 연속된 두 항의 비가 곧 황금비가 된다.
글의 첫 부분에 있는 "여러가지 수열 점화식과 일반항"의 4번 항목을 이해하면
이 글에서 왜 특성방정식의 두 근이 등장하는지 알 수 있다.
위와 같은 선형점화식을 다루는데에 있어 행렬과 고유값등을 몰라도 '새로운 등비수열을 만드는 것' 만
이해하면 어렵지 않다.