●벡터란 무엇일까?
아마 많은 사람들은 스칼라(scalar)의 반대로 '방향과 크기가 있는 것!' 이라고 대답할 것이다.
과연 저 대답이 정답일까? 모든 벡터는 정말 크기과 방향을 가지고 있을까?
나는 이 답에 대한 점수를 100점중 10점을 주고 싶다.
이제 벡터의 수학적 정의를 살펴보자.
벡터는 벡터공간의 원소이다
벡터공간은 다음 조건들을 만족시키는 대상의 모임이다.
쉽게 말하면 덧셈과 스칼라배에 닫혀있고 이 연산에 대해 교환, 결합, 분배 법칙이 성립,
항등원과 역원이 존재한다.
저 조건들을 만족시키면 벡터라는 말인데, 저 조건들을 만족시키는 대상들을 찾아보면
다항식, 실함수, 행렬, 미분방정식의 해 등등
많은 것들이 벡터라고 할 수 있다. 다항식 벡터공간, 실함수 벡터공간...
저것들은 크기와 방향의 개념(화살표)을 가지고 있지 않다.
우리가 알고있던 화살표 벡터는 유클리드 공간에서의 벡터들이다.
유클리드 공간인 좌표공간에서 시점에서 종점으로의 방향이 벡터의 방향이고 시점과 종점 사이의
거리가 곧 벡터의 크기가 되므로 이 좌표 (x,y,z,...)를 화살표를 사용하여 벡터로 나타낸 것이다.
이 유클리드공간의 벡터들의 성질이 벡터공간의 조건이 되고 더 확장시켜 이 성질을 만족시키는 대상들을
벡터로 정의한 것이다.
● 그렇다면 왜 벡터를 화살표로 배울까?
우리에겐 유클리드 공간이 가장 익숙하고 가장 쉽기 때문에 이 벡터공간의 (화살표)벡터 부터 배우는 것이다.
제목에서는 벡터가 크기와 방향이 없다고 하였지만 벡터공간끼리는 동형사상(isomorphism)이 존재하여
다른 벡터공간을 유클리드 공간으로 대응시킬 수 있다. 이렇게 어떤 벡터를 실수로 대응시키는 동형사상을 통해 이 실수를 벡터의 크기로 정의 할 수 있다. (※사상은 함수라고 생각하면 된다.)
(이제 누군가 벡터를 물으면 벡터공간의 정의를 보여주자)