많은 사람들이 의심을 하는 순환소수 0.999... = 1
중학교 과정에서 순환소수를 배우며 이 부분을 배운다.
그 때는 아무런 의심없이 아 그렇구나 하고 믿지만 고등학생때 극한을 배우고 이 문제를 접하면
중학생때와는 다르게 혼란스러운 모습을 보여주고 더 나아가 이 믿음을 부정하는 상태에 이르게 된다.
사람은 지금까지 무한의 영역을 다룬 적이 없었을 것이다. 처음으로 무한의 개념을 다루는데 안 어려울 리가 없지.
0.9999... 가 언젠지는 모르지만 언젠간 끝날거 같다는 생각.
0.9999... 가 무한히 계속 되지만 1이 아닌 1로 한없이 가까이 가는 상태라는 생각.
둘 다 틀린 생각이다.
9는 무한히 계속 되고 끝나질 않는다. 단지 우리가 죽을때 까지 세어도 세지 못해서 무한이 아니라
정말 9의 개수가 끝이 없는 무한인 것이다.
모든 순환소수는 유리수라는 것을 중학생때 배운다. 0.99...도 유리수, 곧 실수라는 것인데 실수란 수직선 위에 박힌
고정된 점이지 어디로 계속 움직이는 상태가 아닌 것이다. 0.999..가 1로 한없이 가까이 가는 상태라고 생각하는 것은
순환소수는 실수가 아니라고 말하는 것과 같다.
학생들이 이를 받아들이지 못하는 이유가 극한에 대해 잘못된 직관을 가지고 있기 때문이다.
0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ....
이것을 한단계 한단계 씩 계속 합해 간다는 뜻으로 해석을 한다. 그것이 아니라 처음부터 저 무한개들이
합해져있는 것이다.
1/3 = 0.333..... 은 받아들이면서 1 = 0.999.. 를 받아들이지 못하는 것은 분수와 소수는 서로서로 나타낼 수 있다고 알지만 "정수"를 소수로 나타내는 것은 어색하게 느끼기 때문이다. 0.999...는 1을 표현하는 다른 방식인 셈이다.
이제 직접 다른 방식, 귀류법으로 증명을 해보자.
증명) 0.999.. ≠ 1 이라고 가정을 하면 1 - 0.999... > 0 이다.
다음 가정에 대한 모순을 찾자. (힌트. 실수에 무한히 작은 수는 존재하지 않는다.)