중3때 새로운 수의 집합을 배운다. 제곱해서 음의 실수가 나온다고 하더라.
'그 수를 실제로 존재하지 않는 수라고 해서 허수(상상의 수)라고 하자.'
교육 방식이 잘못된 것일까 수의 집합 이름이 잘못 붙은 것일까.
실제로 많은 학생들이 허수를 정말 존재하지 않는 수라고 알고 있다.
그럼 허수는 왜 배우는 거지?
허수가 쓸모없는 수일까?
전혀,
삼각함수는 자연상수의 허수제곱으로 표현된다.
허수는 전자공학, 광학등 파동이 들어간 영역 필수이고 이 외에 거의 모든 이과계열에서
식으로 등장한다.
이미 우리 세계에서 사용하는 수인 것이다.
●그럼 왜 저런 명칭이 붙었을까?
사람들은 자신들의 패러다임을 만족하지 않는 새로운 존재가 나타나면 그것을 받아들이지 못한다. 무리수(irrational number)는 왜 비이성적인 수라고 이름 붙여졌겠는가?
무리수가 발견되기 전, 사람들은 모든 수는 간단한 정수비로 나타낼 수 있다는 패러다임에 갇혀 있었다. 하지만 히파수스는 정수비로 나타낼 수 없는 무리수의 존재를 밝혔고 패러다임의 붕괴와 학파의 존폐를 우려한 피타고라스 학파가 히파수스를 물에 빠뜨려 죽이게 된다.
사람들은 기존의 패러다임을 벗어나기 힘들었고 그 패러다임을 넘어서는 무리수라는 존재를 이해하기 어려운 비이성적인 대상으로 보았을 것이다. 그래서 비이성적인 수(무리수)라고 이름이 붙여졌을 것이다.
사람들이 처음으로 음수(negative number)를 마주했을 때 그것을 순수하게 “수”로 받아들었을까? 이 수 집합 이름에서도 부정적인 단어가 보인다. “음(陰)”, “negative”
‘-(마이너스)’란 손실을 의미하는 기호이다. 음수를 그 자체로 수로 보지 못하고 손실이란 연산의 의미를 버리지 못한 채, 부정적인 의미로 ‘음수’라고 붙였을 것이다.
실수의 체계가 구축되고 많은 사람들은 제곱해서 음수가 나오는 수는 없을 거라고 생각했을 것이다. 하지만 필요에 의해서 새로운 수 체계를 만들었고 그것이 허수가 된다. 그 당시 사람들은 허수를 순수하게 받아들일 수 있었을까?
●애초에 수라는 것은 실제로 존재할까?
애초에 “수”라는 개념이 추상적인 것으로 실제로 존재하지 않는다.
1이 어디에 있는가? 그 실물이 존재하는 것인가?
“수”라는 것 자체가 다른 대상을 이해하기 위해 만들어진 추상적인 개념이다.
그렇기에 사람의 필요에 의해서 무한히 만들어 낼 수 있다. 물론 어떤 새로운 개념이 앞선 개념과 모순되면 안 되겠지만. 허수 또한 필요에 의해 만들어진 수이고 굉장히 많은 분야에 쓰이고 있다.
●그럼 허수(복소수)를 어떻게 이해해야 할까?
실수는 수직선 위에 표시할 수 있는 수이고, 허수는 그렇지 못한다.
이를 다른 말로 하면 실수는 길이와 크기가 존재하고 허수는 그렇지 못한다.
따라서 물리량에 있어서는 실수만이 존재한다. 길이, 크기, 부피...
어떤 물리량을 구하려고 n차방정식을 풀었더니 허수 근만 나온다면
그 물리량은 존재하지 않는 것이다.
반면 허수(복소수)는 물리량이 아닌 현상과 작용, 움직임을 나타내는 방정식에 등장한다.
실수를 나무(tree)로 보고. 허수(복소수)를 나무의 그림자로 보자.
나무는 길이, 부피, 무게가 존재한다. 반면 그림자는 저 물리량이 존재하지 않지만 빛이 나무를 만났을 때, 나무가 주변에 미치는 영향의 범위를 나타낸다. 그림자를 무시할 수 있는가?
'수'는 그 자체로 봐야한다. 허수의 이름만 보고, 지금까지 배워왔던 개념만 들고, 이거 진짜 존재할까? 가 아니라
수가 원래 실제 존재하지 않는 추상적 개념. 허수 또한 실수와 마찬가지로 추상적 개념이고 필요에 의해서 만들어진 수이다.
수의 이름은 그 시대의 패러다임에 따라 지어진다고 볼 수 있다. 수의 이름에 너무 매이지 말자