좌표와 크기, 각도를 일체 사용하지 않고
화살표 그림만으로 연산을 정의한 대수구조 만들기.
◆화살표 공간 정의
평면 상의 모든 화살표들의 집합과
+연산과 x연산(스칼라곱)을 정의하여 대수구조를 만든다.
크기가 같지만 방향만 반대인 화살표는
-로 표시한다.
1. 덧셈
화살표의 덧셈을 다음과 같이 정의한다,
a+b=c
- 교환법칙 a+b=b+a
- 결합법칙 a+(b+c)=a+(b+c)
- 항등원 존재 a+0=a
- 역원 존재 a+(-a)=0
2. 스칼라배
(1) 자연수배 na
자연수배는 다음과 같이 정의한다.
na=a+a+...+a (n번의 덧셈)
1은 스칼라배의 항등원이다.
1a=a
(2) 음의 자연수배 -na
덧셈의 역원이 존재하므로
a+(-a)=0
위 a+(-a)의 벡터를 두번 덧셈하면
{a+(-a)}+ {a+(-a)}=0
덧셈에 대한 결합/교환법칙이 성립하므로
2a+2(-a)=0
역원의 정의에 따라 2(-a)는 2a의 덧셈에 대한 역원,
방향만 반대인 화살표가 집합의 원소로 존재하므로
2(-a)= - 2a
마찬가지로 모든 자연수n에 대해서 -n배도 잘 정의된다.
(3) 0배
덧셈에 대한 항등원 0화살표가 존재하며
0a=0으로 정의한다.
(4) 교환법칙/결합법칙
두 자연수 n,m과 화살표 a에 대해서
n(m(a))=m(n(a))=mn(a)가 성립한다.
이는 덧셈으로의 나열로 증명 가능하다.
(5) 유리수배
화살표a와 자연수 n에 대해서
n(ka)=a가 되는 k가 존재하는가?
스칼라배의 교환/결합법칙으로 인해
k(na)=kn(a)=n(ka)=1a 이며
kn=1이 되어야 하며 이러한 k는 존재한다.
n번 더해서 a가 되는 화살표 ka도
평면상의 화살표이므로 화살표들의
집합에 존재한다.
따라서 (1/n)배는 n배의 역원이며
(m/n)a=m(1/n)a로 정의한다.
(4) 실수배
유리수 x1,x2,x3,x4.....와
화살표 a에 대해서
x1a+x2a+x3a+...=(x1+x2+x3+...)a
*스칼라배의 결합법칙
(x1+x2+x3+...)가 k로 수렴한다면
a화살표를 k번 스칼라배한 화살표는
각각의 유리수배한 a화살표들의 합으로
표현되며, 화살표 집합의 정의에 따라
이 화살표 또한 존재한다.
ka= (x1+x2+x3+...)a
따라서 스칼라배는 실수영역까지 확장되며
화살표 공간은 체 R위의 대수공간이 된다.
◆벡터 공간
화살표 공간의 덧셈 구조는 아벨군이다.
덧셈에 대한 교환/결합법칙이 성립하며
항등원과 역원이 존재한다.
화살표 공간의 덧셈과 스칼라 구조
스칼라는 결합/분배법칙이 성립하며
스칼라연산의 항등원이 존재한다.
따라서 체R위의 화살표공간은
벡터공간이다.