경우의 수와 확률을 계산할때에 있어서 알아야 할 중요한 개념이 하나 있다.
쉽게 얘기를 해서 계산의 대상들을 "구분을 하냐 안 하냐"의 차이이다.
지금까지 논란이 되고 있는 포털사이트에 올라온 문제이다.
문제1) 어떤 사람은 두 자녀가 있다. 한 자녀가 남자일 때, 다른 자녀의 성별이 남자일 확률.
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//1번 풀이//
자녀의 구성은 3가지가 있다. (남,남) (남,여), (여,여)
조건이 한 자녀가 남자일 때 이므로 가능한 경우는 (남,남), (남,여)
조건부 확률로 다른 자녀의 성별이 남자일 확률은 1/2
//2번 풀이//
자녀의 구성은 첫째, 둘째를 구분해서 4가지가 있다. (남,남), (남,여), (여,남), (여,여)
한 자녀가 남자일 때므로 가능한 경우는 (남,남) (남,여), (여,남)
조건부 확률로 다른 자녀의 성별이 남자일 확률은 1/3
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무슨 풀이가 정답이라고 생각되는가?
만약 2번 풀이가 정답이라고 외친다면, 첫째와 둘째를 구분해야 하는 당위를 밝혀야 할 것이다.
하지만 문제만 본다면 첫째와 둘째를 구분할 당위는 없어보인다.
그래도 이해가 가지 않는다면 다음 문제를 보자.
문제2) 어떤 밀실에 두 사람이 갇혀있다. 한 사람이 남자일때, 다른 한 사람도 남자일 확률은?
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//풀이//
두 사람의 성별의 여부는 서로 독립이므로 다른 한 사람이 남자일 확률은 1/2이다.
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2번 문제는 모든 사람이 1/2이라고 대답할 것이다.
그럼 1번 문제와 차이점은 무엇인가? '어떤 밀실'이 '어떤 사람의 자녀'로 바뀐 것 밖에 없다.
'어떤 밀실' 안의 두 사람은 차이점을 발견할 수 없는데, '어떤 사람의 자녀'는 무조건 첫째와 둘째가 나뉜다는
차이점을 무리하게 문제에 적용시키는 것이 아닌가?
틀렸다. 저 사람의 자녀는 한명은 양자 한명은 친자이지만 두 아이 모두 한날한시에 태어났기 때문에
첫째와 둘째로 구분하지 않는다.
문제에 나오지도 않는 이상한 말 지어내서 어거지 쓰지 말라고?
문제에 나오지도 않는 첫째 둘째가 무조건 나뉠거라고 생각하고 계산을 한 방식은 잘못되지 않았고?
그렇다면 그 논리로 내가 2번 문제를 풀어보겠다.
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//풀이//
당연히 두 사람의 세포수가 같다고 생각할 수 없으므로 더 많은 세포수를 가지고 있는 사람을 순서쌍의 첫번쨰,
상대적으로 적은 세포수를 가지고 있는 사람을 순서쌍의 두번쨰로 적도록 한다.
(남, 여), (남, 남), (여, 남), (여,여) 중 한 사람이 남자일때의 조건부 확률이므로
정답 : 1/3
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문제3) 안에 보이지 않는 주머니 속에 흰색 혹은 검은색 구슬 두 개가 들어있다. 그 중 한 구슬이
검은색 구슬일때, 다른 구슬도 검은색일 확률은?
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//풀이//
두 구슬을 이루는 소립자의 개수가 같을 순 없으므로 두 구슬을 철처히 구분해야 한다.
(검, 흰), (흰, 흰), (검, 검), (흰, 검)
조건부 확률로 정답은 1/3
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경우의 수와 확률을 계산할때, 문제에 나오지 않는 조건을 마구잡이로 가져다 붙이지 말자.
중학교/고등학교 과정의 경우의 수 문제 중 마음에 안 드는 문제들이 있다.
문제에 사람들끼리 구분할지 안 할지 정확히 구분해주면 더 좋지 않을까. 사람이라고 무조건
구분하라고 가르치지 말고...
문제)남학생 3명, 여학생 3명을 일렬로 나열하려고 한다. 남학생 두 명만 접해 있을 경우의 수는 몇 가지?
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수정)남학생 3명, 여학생 3명을 일렬로 나열하려고 한다. 남학생 두 명만 접해 있을 경우의 수는 몇 가지인가?
(단, 모든 학생들끼리 구분을 한다.)
사실 수정 전 문제만 보면 굳이 남학생들 여학생들끼리 구분할 필요성은 딱히 없어 보인다.
다른 사물들은 같은걸로 보는데 사람만 당연히 구분해야 한다고? 나에겐 딱히 당연하다고 생각되지 않는데